index / 位相幾何学 (topology) / #1. 位相空間の定義
Definition 1.1 位相空間
$X$ を空でない集合とする. このとき, 次の条件を全て満たす集合族 $\mathcal{O} \subset 2^X$ を $X$ の 位相 という.
- $\empty \in \mathcal{O},\quad X \in \mathcal{O}.$
- $O_1, O_2\in \mathcal{O}\;\Longrightarrow\;O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}.$
- $\forall \lambda\in\Lambda [O_\lambda\in\mathcal{O}]\;\Longrightarrow\; \bigcup_{\lambda\in\Lambda}{O_\lambda} \subset \mathcal{O}.$
位相 $\mathcal{O}$ が与えられた集合 $X$ を 位相空間 といい, $(X,\mathcal{O})$ で表す.
集合 $X$ を 台 (あるいは 台集合) といい, $X$ の元を位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の 点 という.
また, $\mathcal{O}$ を位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の 開集合 という.
Example 1.2 密着位相・離散位相
空でない任意の集合 $X$ は常に次の2つの位相を定めることができる.
-
密着位相: $\mathcal{O} = \{\empty, X\}$
- $(X, \{\empty,X\})$ を密着空間 という.
-
離散位相: $\mathcal{O} = 2^X$
- $(X, 2^X)$ を離散空間 という.
Example 1.3 相対位相
$(X,\mathcal{O})$ を位相空間, $A$ を空でない任意の集合としたとき, $$\mathcal{O}_A = \{A\cap O, \mid O \in \mathcal{O}\}$$ は $A$ の位相の1つである.
この位相を集合 $A$ 上の $\mathcal{O}$ に関する 相対空間 といい, 位相空間 $(A,\mathcal{O}_A)$ を $(X,\mathcal{O})$ の 部分空間 という.
Definition 1.4 閉集合
$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とする.
集合 $X$ の部分集合 $A$ の補集合 $A^c$ が $\mathcal{O}$ に含まれるとき, $A$ を位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の 閉集合 という.