$\sum_{k=0}^{n}\sin k\theta, \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta$

定理1 $\sum_{k=0}^{n}\sin k\theta, \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta$

$\theta \neq 2n\pi\;(n\in\mathbb{Z})$ のとき,
  1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sin k\theta =\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}.$
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta =\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}.$

Euler の公式 $e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta$ を用いると証明しやすい.

証明 (クリックで展開)

$$ \begin{align*} \left(\sum_{k=0}^{n}\cos k\theta\right)+ i\left(\sum_{k=0}^{n}\sin k\theta\right) &= \sum_{k=0}^{n} (\cos k\theta+i\sin k\theta) \\ &= \sum_{k=0}^{n} e^{i\theta k} \\ &= \frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1} \\ &= \frac{e^{i(n+1)\theta/2}-e^{-in\theta/2}}{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}\cdot e^{in\theta/2} \\ &= \frac{\frac{e^{i(n+1)\theta/2}-e^{-in\theta/2}}{2i}}{\frac{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}{2i}}\cdot e^{in\theta/2} \\ &= \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\left(\cos\frac{n\theta}{2}+i\sin\frac{n\theta}{2}\right) \\ &= \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} + i\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}. \end{align*} $$

実部と虚部でそれぞれの定理が示されている.

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