各長方形の頂点のうち, 原点からの距離が最も大きいものの距離を $d$ とすると $\overline{S} \subset B(0, d+1)$ である.

$\mathbb{E}^2$ では有界閉集合とコンパクトは同値であるから, 定理1より $\overline{S}$ はコンパクトである.

$$\begin{align*} A \subset B &\;\Longleftrightarrow\; B^c \subset A^c \\ &\;\Longleftrightarrow\; \operatorname{Int}(B^c) \subset \operatorname{Int}(A^c) \\ &\;\Longleftrightarrow\; \operatorname{Int}(A^c)^c \subset \operatorname{Int}(B^c)^c \\ &\;\Longleftrightarrow\; \overline{A} \subset \overline{B}. \end{align*}$$

補題2より, $S \subset R\;\Longleftrightarrow\;\overline{S} \subset \overline{R} = R$ であるから, $R$ は $\overline{S}$ を包む.

また, $R$ より面積の小さい $\overline{S}$ を包む長方形 $R'$ が存在すると仮定すると $S\subset\overline{S}\subset R'$ となり, $R$ が $S$ を包む最小の長方形であることに矛盾.

$S$ が有界であることと $\overline{S}$ が有界であることは同値であるから, (1) $\Longrightarrow$ (2) は容易に示される.

$\pi_x, \pi_y$ をそれぞれ $x$ 座標, $y$ 座標成分の射影とする.

$\pi_x, \pi_y$ は連続であるから $\overline{S}$ のコンパクト性より $\pi_x, \pi_y$ の像は最大値・最小値を持つ. よって, $$[\min_{a\in S}\pi_x(a), \max_{a\in S}\pi_x(a)]\times[\min_{a\in S}\pi_y(a), \max_{a\in S}\pi_y(a)]$$ が辺が $x$ 軸および $y$ 軸に平行なものに限定したときの $S$ を包む最小の長方形である.

$a = (x,y)$ とするとき, $R(\theta,a) = R_\theta(a) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$ は原点を中心に $a$ を $\theta$ 回転させる. 各 $\theta$に対して $R_{\theta}$ はコンパクトであり, $R$ は連続であるから, $R(\theta,a)$ を最小にするような $\theta, a$ が存在する.

$R$ は閉包なので, $S$ 上の任意の2点 $a,b$ を結ぶ線分を含む.

辺 $l$が $S$ とどの境界点とも接しないと仮定すると, $S$ の任意の境界点が $l$ から $\varepsilon$ 以上離れているような実数 $\varepsilon >0$ が存在する. しかし辺 $l$ を長方形の重心の方向へ $\varepsilon$ 平行移動しても $S$ を包むので矛盾.