#1 位相空間と諸概念の定義

位相空間・開集合

定義1.1 開集合による位相空間の定義

$X$ を空でない集合とする. 集合族 $\mathcal{O}\subset 2^X$ が次の3条件を満たすとき, $\mathcal{O}$ は集合 $X$ 上の 位相 (topology) であるという.
  1. $\emptyset,X\in\mathcal{O}.$
  2. $O_1,O_2\in\mathcal{O}\;\Longrightarrow\;O_1\cap O_2\in\mathcal{O}.$
  3. $\displaystyle\forall\lambda\in\Lambda[O_\lambda\in\mathcal{O}]\;\Longrightarrow\;\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathcal{O}.$

位相 $\mathcal{O}$ を与えられた集合 $X$ を 位相空間 (topology space) といい, $(X, \mathcal{O})$ で表す.

$\mathcal{O}$ に属する $X$ の部分集合 $O$ を 開集合 (open set), あるいは厳密に $\mathcal{O}$-開集合 ($\mathcal{O}$-open set) といい,
集合 $X$ を 台集合 (underlying set), あるいは単に 台 という.

また, 集合 $X$ の元を 点 (point) という.

注意

条件2はあるいは次のように置き換えることができる. $$O_1,O_2,\dots,O_n\in\mathcal{O}\;\Longrightarrow\;\bigcap_{k=1}^{n} O_k\in\mathcal{O}.$$ ただし, 条件3は開集合が無限個でも構わないのに対して, 条件2の開集合の共通集合は 有限個 でなければならない.

注意

文脈から位相の集合族 $\mathcal{O}$ が明らかな場合は, 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ を単に $X$ と略記する場合がある.

例1.2 密着位相

$\mathcal{O}=\{\emptyset,X\}$ は位相の定義から明らかに集合 $X$ 上の一つの位相になる.
この位相を 密着位相 (indiscrete space) という.

例1.3 離散位相

$\mathcal{O}=2^X$ は位相の定義から明らかに集合 $X$ 上の一つの位相になる.
この位相を 離散位相 (discrete space) という.

例1.4 通常の位相 (自然な位相)

$n$次元Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合系 $\mathcal{O}$ は $\mathbb{R}^n$ 上の一つの位相である.
この位相を $\mathbb{R}^n$ の通常の位相 (standard topology, または 自然な位相, natural topology) という.

例1.5 距離位相

距離空間 $(X, d)$ の開集合系 $\mathcal{O}$ は $X$ 上の一つの位相である.
この位相を $X$ の $d$ によって定まる 距離位相 (metric topology) という.

集合 $X$ 上の位相 $\mathcal{O}$ と一致するような距離位相が存在するとき, 位相 $\mathcal{O}$ は 距離化可能 (metrizable) であるという

例1.6 相対位相

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間, $A\subset X$ を空でない部分集合としたとき, $$\mathcal{O}_A = \{A\cap U \mid U\in\mathcal{O}\}$$ は $A$ 上の一つの位相であり, この位相 $\mathcal{O}_A$ を集合 $A$ の上の $\mathcal{O}$ に関する 相対位相 (subspace topology, relative topology, or induced topology) という.

位相空間 $(A, \mathcal{O}_A)$ を位相空間 $(X, \mathcal{O})$ の 部分空間 (subspace) という.

閉集合

定義1.7 閉集合

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において, 部分集合 $F\in X$ の補集合 $F^c:=X-F$ が $\mathcal{O}$ に属するとき, $F$ を 閉集合 (closed set), あるいは厳密に $\mathcal{O}$-閉集合, ($\mathcal{O}$-closed set) という.

注意

部分集合 $A\in X$ が開集合に属さないからといって, 閉集合に属するとは限らない (逆も然りである).

例えば, 位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において, 空集合 $\emptyset$ と $X$ は各定義から開集合であり, また閉集合でもある (開かつ閉集合, clopen set).

内部(開核), 閉包, 外部, 境界点

以降, 位相空間 $(X,\mathcal{O})$ について考える.

定義1.8 内点, 内部 (開核)

$A\subset X$ に包まれる最大の $\mathcal{O}$-開集合を $A$ の 内部 (interior, あるいは 開核) といい, $A^i,\;\operatorname{int}(A),\;\operatorname{Int}(A),$ あるいは $A^\circ$で表す.

$A^i$ の点を $A$ の 内点 (interior point) という.

定義1.9 閉包, 触点

$A\subset X$ を包む 最小の $\mathcal{O}$-閉集合を $A$ の 閉包 (closure) といい,
$A^a,\;\operatorname{cl}(A),\;\operatorname{Cl}(A),$ あるいは $\overline{A} $で表す.

$A^i$ の点を $A$ の 触点 (closure point) という.

定義1.10 外部, 外点

$A\subset X$ の補集合 $A^c$ の内部 $(A^c)^i$ を $A$ の 外部 (exterior) といい,
$A^f,\;\operatorname{ext}(A),$ または $\operatorname{Ext}(A)$ で表す.

$A^f$ の点を $A$ の 外点 (exterior point) という.

定義1.11 境界, 境界点

$A\subset X$ で $A$ の内部でも外部でもない点全体の集合 $A-(A^i\cup A^e)^c$ を $A$ の 境界 (boundary, frontior) といい,
$A^f,\;\operatorname{bd}(A),\;\operatorname{fr}(A),$ または $\partial A$ で表す.

$A^f$ の点を $A$ の 境界点 (exterior point) という.

内部(開核)・閉包・外部・境界点の関係

定義より以下の命題が直ちに従う.

命題1.12 内部・境界点・外部

$X = \operatorname{int}(A) \sqcup \operatorname{bd}(A) \sqcup \operatorname{ext}(A).$

ここで $A\sqcup B$ は非交和 ($A\cap B = \emptyset$) を示す.

また, 次の関係が成立する.

定理1.13 内包と外部の関係

  1. $A^{ci} = A^{ac}.$
  2. $A^{ic} = A^{ca}.$
証明 (クリックで展開)

1.

$A^{cic}$ は $A$ を包む閉集合であるから, $A^a \subset A^{cic}\;\Longrightarrow A^{ci}\subset A^{ac}.$ また, $A^{cac}$ は $A$ に包まれる開集合であるから, $A^{cac} \subset A^i\;\Longrightarrow\; A^{ic}\subset A^{ca}.$ ここで $A$ を $A^c$ に置換すれば $A^{cic}\subset A^{a} \;\Longrightarrow\; A^{ac}\subset A^{ci}$ であるから, 従って $A^ci = .A^{ac}.$

2.

1の式の $A$ を $A^c$ に置換すれば示すことができる.

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集積点, 孤立点

定義1.14 集積点, 孤立点

点 $x\in X$ が集合 $A-\{x\}$ の触点であるとき, $x$ を $A$ の 集積点 (accumulation point), あるいは 極限点 (limit point) という.

点 $x\in X$ が $x\in A$ かつ集積点でないとき, $x$ を $A$ の 孤立点 (isolated point) という.

注意

$A$ の集積点は $A$ に属するとは限らない. (孤立点は $A$ に属する.)

近傍, 近傍系

定義1.15 近傍, 近傍系, 開近傍, 閉近傍

$N\subset X$ において $a\in X$ が$N$ の内点であるとき, $N$ は $a$ の近傍 (neighborhood) であるという.

とくに, 点 $a$ を含む開集合および閉集合はすべて点 $a$ の近傍であり, それぞれ点 $a$ の 開近傍 (open neighborhood), 閉近傍 (closed neighborhood) という.

さらに, 点 $a$ の近傍全体の集合を点 $a$ の 近傍系 (neighborhood system), または 近傍フィルター (neighborhood filter) といい, $N(a)$ あるいは $\mathcal{N}(a)$ で表す.