#2 閉集合・開核作用素・閉包作用素・近傍系

閉集合

定理2.1 閉集合

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の閉集合族 $\mathcal{A}$ において, 以下が成立する.
  1. $\emptyset,X\in\mathcal{A}.$
  2. $F_1,F_2\in\mathcal{A}\;\Longrightarrow\;F_1\cup F_2\in\mathcal{A}.$
  3. $\displaystyle\forall\lambda\in\Lambda[F_\lambda\in\mathcal{A}]\;\Longrightarrow\;\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\in\mathcal{A}.$
証明 (クリックで展開)

1.

$\emptyset,X$ の補集合はそれぞれ $X,\emptyset$ であり, 開集合の定義より $\emptyset,X\in\mathcal{O}$ であるから $\emptyset,X\in\mathcal{A}.$

2.

$F_1^c,F_2^c\in\mathcal{O}\;\Longrightarrow\;F_1^c\cap F_2^c = (F_1\cap F_2)^c\in\mathcal{O}\;F_1\cup F_2\in\mathcal{A}.$

3.

$\displaystyle\forall\lambda\in\Lambda[F_\lambda\in\mathcal{A}] \;\Longrightarrow\;\forall\lambda\in\Lambda[F_\lambda^c\in\mathcal{O}] \;\Longrightarrow\;\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda^c\right)\in\mathcal{O} \;\Longrightarrow\;\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\right)^c\in\mathcal{O} \;\Longrightarrow\;\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\in\mathcal{A}.$

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開核作用素

定義2.2 開核作用素

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において, $A$ から $A^\circ$ へ移す写像 ${}^\circ: 2^X\to2^X$ を 開核作用素 (interior operator)という.

定理2.3 開核作用素の性質

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開核作用素は次の性質をもつ.
  1. $X^\circ = X.$
  2. $A^\circ \subset A.$
  3. $(A\cap B)^\circ = A^\circ\cap B^\circ.$
  4. $(A^\circ)^\circ = A^\circ.$
証明 (クリックで展開)

1.

$X\in\mathcal{O}$ より, $X$ に包まれる最大の開集合 $X^\circ$ は $X$ 自身.

2.

$A^\circ$ の定義より明らか.

3.

$A^\circ, B^\circ$ はそれぞれ $A, B$ に包まれる開集合であるから, $A^\circ \cap B^\circ$ は $A\cap B$ に包まれる開集合である. また, 内部の定義より $(A \cap B)^\circ$ は $A\cap B$ に包まれる最大の開集合である. よって, $A^\circ \cap B^\circ\subset(A \cap B)^\circ.$

さらに $(A \cap B)^\circ\subset A\cap B$ であるから $(A \cap B)^\circ$ は $A$ に包まれる開集合であり, また $A^\circ$ は $A$ に包まれる最大の開集合であるから $A^\circ \cap B^\circ\subset A^\circ.$

同様に $A^\circ \cap B^\circ\subset B^\circ$ が成立する. 従って $(A\cap B)^\circ = A^\circ\cap B^\circ.$

4.

$A^\circ$ は $A$ に包まれる開集合であり、かつ $A^\circ$ に包まれる最大の開集合は $A^\circ$ であるから, $(A^\circ)^\circ = A^\circ.$

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閉包作用素

定義2.4 開核作用素

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において, $A$ から $\overline{A}$ へ移す写像 $\overline{\;\cdot\;}: 2^X\to2^X$ を 閉包作用素 (closure operator)という.

定義2.5 閉包作用素の性質

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開核作用素は次の性質をもつ.
  1. $\overline{\emptyset} = \emptyset.$
  2. $A\subset \overline{A}.$
  3. $\overline{A\cap B}= \overline{A}\cap \overline{B}.$
  4. $\overline{\overline{A}} = \overline{A}.$
証明 (クリックで展開)

1.

$\emptyset$ は閉集合より, $\emptyset$ を包む最小の開集合 $\overline{\emptyset}$ は $\emptyset$ 自身.

2.

$\overline{A}$ の定義より明らか.

3.

$\overline{A}, \overline{B}$ はそれぞれ $A, B$ を包む閉集合であるから, $\overline{A}\cup\overline{B}$ は $A\cup B$ を包む閉集合である. また, 閉包の定義より $\overline{A \cup B}$ は $A\cup B$ を包む最小の閉集合である. よって, $\overline{A \cup B} \subset\overline{A}\cup \overline{B}.$

さらに $A\cup B\subset\overline{A \cup B}$ であるから $\overline{A \cup B}$ は $A$ を包む閉集合であり, また $`\overline{A}$ は $A$ に包む最小の閉集合であるから $\overline{A}\subset \overline{A \cup B}.$

同様に $\overline{B}\subset \overline{A \cup B}$ が成立する. 従って $\overline{A}\cup\overline{B}\subset \overline{A \cup B}.$

4.

$\overline{A}$ は $A$ を包む閉集合であり、かつ $\overline{A}$ を包む最小の閉集合は $\overline{A}$ であるから, $\overline{\overline{A}} = \overline{A}.$

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近傍系

定理2.6 近傍系の性質

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の近傍系は次の性質をもつ.
  1. ${}^\forall a\in X[X\in\mathcal{N}(a) \land (N\in\mathcal{N}(a)\;\Longrightarrow\; a\in N)].$
  2. $N_1,N_2\in\mathcal{N}(a)\;\Longrightarrow\;N_1\cap N_2\in\mathcal{N}(a).$
  3. $(N\in\mathcal{N}(a)\land N\subset M\subset X)\;\Longrightarrow\;M\in\mathcal{N}(a).$
  4. ${}^\forall N\in\mathcal{N}(a),{}^\exists M\in\mathcal{N}(a)\;\text{s.t.}\;b\in M\;\Longrightarrow\;N\in\mathcal{N}(b).$
証明 (クリックで展開)

1, 3 は定義より明らか.

2.

$N_1,N_2\in\mathcal{N}(a)\;\longrightarrow\;a\in N_1,a\in N_1,N_2\;\Longrightarrow\;a\in N_1\cap N_2\in\mathcal{N}(a).$

4.

$M$ について $M=N^\circ\in\mathcal{N}(a)$ と置けばよい.

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