証明

証明

$(X, \mathcal{O})$ の閉集合族 $\mathscr{A}$ に対して, 開集合族を $\mathscr{A}^c = \{F^c\mid F\in\mathscr{A}\}$ で定義する. コンパクト性より, 適当に $F_1^c,\dots, F_n^c \in \mathscr{A}^c$ を選んで $X=\bigcup_{k=1}^n F_k^c$ とできるので, De Morgan の法則より $\bigcap_{k=1}^n F_k = \emptyset$.

$\Longleftarrow)$

$(X, \mathcal{O})$ の開集合族 $\mathscr{G}$ に対して, 閉集合族を $\mathscr{G}^c = \{O^c\mid O\in\mathscr{G}\}$ で定義する. $\mathscr{G}$ が $X$ の開被覆であれば, De Morgan の法則より $\bigcap(\mathscr{G}^c) = \emptyset$. 条件2の対偶より, 適当に $O_1^c,\dots, O_n^c \in \mathscr{G}^c$ を選んで, $\bigcap_{k=1}^n O_k^c=\emptyset$ とできるので, 再び De Morgan の法則より $X=\bigcup_{k=1}^n O_k.$

証明

$X_1\times X_2$ の開被覆 $\mathscr{G}$ を任意に与えたとき, $\mathscr{G}_1,\mathscr{G}_2(x)$ をそれぞれ

$$\mathscr{G}_1 = \left\{O\in\mathcal{O}_1 \;\middle|\; {}^\exists n\in\mathbb{N}, {}^\exists U_1,\dots,U_n\in\mathscr{G} \;\text{s.t.}\;O\times X_2\subset \bigcup_{i=1}^{n}U_i\right\},$$

$$\mathscr{G}_2(x) = \left\{O\in\mathcal{O}_2 \middle| x\in {}^\exists U\in\mathcal{O}_1, {}^\exists G\in\mathscr{G} \;\text{s.t.}\; U\times O\subset G\right\}$$

と定義する.

積位相の定義および $\mathscr{G}$ が直積 $X_1\times X_2$ の開被覆であることから, $\mathscr{G}_2(x)$ は $X_2$ の開被覆である. $(X_2,\mathcal{O}_2)$ はコンパクト空間なので, $\mathscr{G}_2(x)$ に属する有限個の開集合 $V_1,\dots,V_m$ を適当に選ぶことで, $X_2 = \bigcup_{i=1}^{m}V_i$ となるようにできる. $\mathscr{G}_2(x)$ の定義より, 点 $x$ の $\mathcal{O}_1$-開近傍 $U_1,\dots,U_m$ と $\mathscr{G}$ に属する開集合を適当に選び, $U_i\times V_i\subset G_i\;(i=1,\dots,m)$ となるようにできる. そこで, $O=\bigcap_{i=1}^{m}U_i$ とすれば, $O$ は点 $x$ の開近傍で, $$O\times X_2 = \bigcup_{j=1}^{m}(O\times V_j) = \bigcup_{i=1}^{m}\bigcap_{j=1}^{m}(U_i\times V_j) \subset \bigcup_{i=1}^{m}G_i$$ より $O\times X_2$ は $G_1,\dots,G_m$ によって被覆できる.

従って, このように定義された点 $x$ の $\mathcal{O}_1$-開近傍 $O$ は先に定義した $\mathscr{G}_1$ に属することになり, $\mathscr{G}_1$ は $X_1$ の開被覆となる. $(X_1,\mathcal{O}_1)$ もコンパクト空間であるから, $\mathcal{O}_1$ に属する有限個の開集合 $O_1,\dots,O_n$ を適当に選ぶことで, $X_1 = \bigcup_{i=1}^{n}O_i$ となるようにできる. 各番号 $i$ に対して, 直積 $O_i\times X_2$ は $\mathscr{G}$ に属する有限個の開集合によって被覆されるので その和集合 $ X_1 \times X_2 = \bigcup_{i=1}^{n}\left(O_i\times X_2\right)$ もまた $\mathscr{G}$ に属する有限個の開集合によって被覆される.

以上より, 2つのコンパクト空間の直積空間はコンパクトであることが示された. 3個以上の因子空間からなる直積空間は上記の議論を帰納的に繰り返すことで示せる.

証明

有限交差性を持つ $X$ の部分集合族 $\mathscr{A}'$ で $\mathscr{A}\subset\mathscr{A}'$ となるような $\mathscr{A}$ 全体を $\mathscr{F}$ とする. 集合 $\mathscr{F}$ は包含関係による半順序に関して帰納的 (全ての全順序部分集合が上限を持つ) であるので, Zorn の補題より $\mathscr{F}$ の極大元 $\mathscr{M}$ が存在する. 有限交差性と極大性より, $\mathscr{M}$ は次の性質を持つ.

• 任意の有限個の集合 $F_1,\dots,F_n\in\mathscr{M}$ に対して $\bigcap_{k=1}^n F_k\in\mathscr{M}$.
• 部分集合 $A\subset X$ が $\mathscr{M}$ に属するすべての集合と交わるならば $A\in\mathscr{M}.$

($\star$) ここで, ${}^\forall F\in\mathscr{M}, {}^\forall\lambda\in\Lambda,{}^\exists x=(x_\lambda)\in X\;\text{s.t.}\;x_\lambda\in \overline{\pi_\lambda(F)}$ を示す.

$\mathscr{M}_\lambda = \left\{\overline{\pi_\lambda(F)} \middle| F\in\mathscr{M}\right\}$ とすれば, $\mathscr{M}_\lambda$ はコンパクト空間 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ における有限交差性をもつ閉集合族であるから, $\bigcap\mathscr{M}_\lambda\neq\emptyset.$ よって, 選択公理より $x$ の存在性が示せた.

($\star\star$) 次に, 先ほど求めた点 $x$ は $\mathscr{M}$ に属するすべての集合の触点であることを示す.

これは直積位相 $(X,\mathcal{O})$ における点 $x$ の近傍 $N$ が $\mathscr{M}$ に属するすべての集合と交わることを示せばよい.

直積位相の定義より, 有限個の添字 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ および $\mathcal{O}_{\lambda_i}$-開集合$U_i\;(i=1,\dots,n)$ が存在して, $$x\in\bigcap_{i=1}^{n}\pi_{\lambda_i}^{-1}(U_i)\subset N$$ が成立する (ここで, $U_{i}$ は $x_{\lambda_i}=\pi_{\lambda_i}(x)$ の開近傍である). もし $\pi_{\lambda_i}^{-1}(U_i)\in\mathscr{M};(i=1,\dots,n)$ ならば, 性質1より $${}^\forall F\in\mathscr{M}\left[F\cap\left(\bigcap_{i=1}^{n}\pi_{\lambda_i}^{-1}(U_i)\right)\neq\emptyset\right]$$ が成立することから($\star\star$) が示される.

($\star\star\star$) 最後に, $(X, \mathcal{O})$ の点 $x_\lambda=\pi_\lambda(x)$ の開近傍 $U$ に対して $\pi_\lambda^{-1}(U)\in\mathscr{M}$ であることを示す.

($\star$) より $U\cap\pi_\lambda(F)\neq\emptyset$ であり, $\pi_\lambda^{-1}(U)\cap F\neq\emptyset.$ 性質2より, $\pi_\lambda^{-1}(U)\in\mathscr{M}$.

以上より, $\mathscr{M}$ に属するすべての集合の触点となる $Y$ の点 $y$ が存在する. 最初に与えた閉集合族 $\mathscr{A}$ は $\mathscr{M}$ の部分集合だから, $y$ は $\mathscr{A}$ に属するすべての閉集合に含まれることになり, $\cap\mathscr{A}\neq\emptyset$ が示された.

証明

よって, $\mathscr{A}$ が有限交差性を持てば, $\bigcap\mathscr{A}\neq\emptyset$.

証明

まず, 和集合 $\omega\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ を選び, $$X_\lambda = A_\lambda\cup\{\omega\}\quad(\lambda\in\Lambda)$$ とする. ${}^\forall\lambda\in\Lambda[\omega\in X_\lambda]$ であるから, $X\neq\emptyset$ (選択関数が具体的に決定するため, この主張に選択公理は必要ない). 次に, 各 $\mathcal{O}_\lambda=\{\emptyset, \{\omega\}\} \cup \{O \subset X_\lambda \mid O^c\;\text{is finite}\}$ とすれば, $\mathcal{O}_\lambda$ は $X_\lambda$ の位相である.

補題8より, 位相空間 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ において閉集合族 $\mathscr{A}_\lambda$ は有限交差性を持ち $\bigcap\mathscr{A}_\lambda\neq\emptyset$ であるから, $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ はコンパクト空間である. よって, 条件付きの Tychonoff の定理より, 積空間 $\prod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ もコンパクト空間である.

$F_\lambda:=\pi_\lambda^{-1}(A_\lambda)$ は直積空間における閉集合であり, さらにこの閉集合族は直積$X$ の元 $x=(x_\lambda)$ に対して $x_{\lambda_i}\in A_{\lambda_i}\;(i=1,\dots,n),\;x_\lambda=\omega\;(\lambda\neq\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ となるものが存在するから, $\{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ は有限交差性を持つ.

従って, 定理7 より $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} F_\lambda\neq\emptyset$. 一方, $F_\lambda=\pi_\lambda^{-1}(A_\lambda)$ であったから, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} F_\lambda=\prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\neq\emptyset.$